證明含有雙階乘的不等式

n = 1、2時顯然成立

假設n=m時成立，則：

$$ 2(\sqrt{m+1} - 1) \le \sum_{k=1}^m \frac{(k-1)!!}{k!!} $$

$$ 2(\sqrt{m} - 1) \le \sum_{k=1}^{m-1} \frac{(k-1)!!}{k!!} $$

$$ 2(\sqrt{m-1} - 1) \le \sum_{k=1}^{m-2} \frac{(k-1)!!}{k!!} $$

當n=m+1時：

$$ 左側 = 2(\sqrt{m+2} - 1) $$

$$ 右側 = \sum_{k=1}^{m+1} \frac{(k-1)!!}{k!!} = \sum_{k=1}^m \frac{(k-1)!!}{k!!} + \frac{m!!}{(m+1)!!} $$

因此只要證明下式即可：

$$ \sum_{k=1}^m \frac{(k-1)!!}{k!!} + \frac{m!!}{(m+1)!!} - 2(\sqrt{m+2} - 1) \ge 0 $$

……

接下來就是想辦法證明這個不等式。但是把

$$ \sum_{k=1}^m \frac{(k-1)!!}{k!!} $$

直接替換成：

$$ 2(\sqrt{m+1} - 1) $$

不行（我之前就是這么做的），會導致縮放過頭。目前還沒想到證明方法。

另外

$$ \frac{m!!}{(m+1)!!} $$

可以寫成

$$ \frac{(m-2)!!}{(m-1)!!} * \frac{m}{m+1} $$

這個可能可以用在推導過程中。

根據(jù)$n$的奇偶性分開討論。以下只討論偶數(shù)的情況。若$n$為奇數(shù)，可用類似方法證明，過程略。

若$n$為偶數(shù) $n = 2m$：

$$ \array{ & & \sum_{k=1}^n \frac{(k-1)!!}{k!!} \hfill \\ &=& \sum_{k=1}^m \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} + \sum_{k=1}^m \frac{(2k-2)!!}{(2k-1)!!} \hfill & \text{(奇偶項分開求和)} \hfill\\ &=& \sum_{k=1}^m \frac{(k-1/2)!}{k!} + \sum_{k=1}^m \frac{(k-1)!}{2(k-1/2)!} \hfill & \text{(分子分母連續(xù)約去公因子2)} \hfill\\ &=& \left(\frac{2(m+1/2)!}{m!}-1\right) + \left(\frac{m!}{(m-1/2)!}-1\right) \hfill & \text{(可歸納證明，見下文)} \hfill \\ &\ge& 2\sqrt{\frac{2(m+1/2)!}{(m-1/2)!}}-2 \hfill & \text{(基本不等式)} \hfill\\ &=& 2\sqrt{2(m+1/2)}-2 \hfill \hfill\\ &=& 2 (\sqrt{n+1}-1) \hfill } $$

第二步中，仍用符號$!$表示半整數(shù)的階乘，比如$(5/2)! = (5/2)(3/2)(1/2)$。第三步的結論可用歸納法。比如證明

$$ \sum_{k=1}^m \frac{(k-1/2)!}{k!} = \frac{2(m+1/2)!}{m!}-1 $$

只要驗證$m=1$時等式成立，并且

$$ \array{ & & \frac{2(m+1/2)!}{m!}-1 + \frac{(m+1-1/2)!}{(m+1)!} \hfill \\ &=& \frac{(m+1/2)!(2(m+1)+1)}{(m+1)!} -1 \hfill \\ &=& \frac{2((m+1)+1/2)!}{(m+1)!} -1 \hfill } $$