數(shù)組中的逆序?qū)?/h1>

題目：在數(shù)組中的兩個(gè)數(shù)字如果前面一個(gè)數(shù)字大于后面的數(shù)字，則這兩個(gè)數(shù)字組成一個(gè)逆序?qū)?。輸入一個(gè)數(shù)組，求出這個(gè)數(shù)組中的逆序?qū)Φ目倲?shù)。

舉例分析

例如在數(shù)組｛7, 5, 6, 4}中， 一共存在 5 個(gè)逆序?qū)?，分別是（7, 6）、（7，5），(7, 4）、（6, 4）和（5, 4）。

解題思路：

第一種：直接求解

順序掃描整個(gè)數(shù)組。每掃描到一個(gè)數(shù)字的時(shí)候，逐個(gè)比較該數(shù)字和它后面的數(shù)字的大小。如果后面的數(shù)字比它小，則這兩個(gè)數(shù)字就組成了一個(gè)逆序?qū)?。假設(shè)數(shù)組中含有 n 個(gè)數(shù)字。由于每個(gè)數(shù)字都要和 O(n）個(gè)數(shù)字作比較， 因此這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度是 O(n^2)。

第二種：分析法

我們以數(shù)組｛7, 5, 6, 4｝為例來(lái)分析統(tǒng)計(jì)逆序?qū)Φ倪^(guò)程。每次掃描到一個(gè)數(shù)字的時(shí)候，我們不能拿它和后面的每一個(gè)數(shù)字作比較，否則時(shí)間復(fù)雜度就是 O(n^5)，因此我們可以考慮先比較兩個(gè)相鄰的數(shù)字。

http://wiki.jikexueyuan.com/project/for-offer/images/50.png" alt="" />

如圖 5.1 ( a )和圖 5.1 ( b）所示，我們先把數(shù)組分解成兩個(gè)長(zhǎng)度為 2 的子數(shù)組， 再把這兩個(gè)子數(shù)組分別拆分成兩個(gè)長(zhǎng)度為 1 的子數(shù)組。接下來(lái)一邊合并相鄰的子數(shù)組， 一邊統(tǒng)計(jì)逆序?qū)Φ臄?shù)目。在第一對(duì)長(zhǎng)度為 1 的子數(shù)組｛7｝、｛5｝中7 大于 5 ， 因此（7, 5）組成一個(gè)逆序?qū)ΑＭ瑯釉诘诙?duì)長(zhǎng)度為 1 的子數(shù)組｛6｝、｛4｝中也有逆序?qū)Γ?, 4）。由于我們已經(jīng)統(tǒng)計(jì)了這兩對(duì)子數(shù)組內(nèi)部的逆序?qū)Γ虼诵枰堰@兩對(duì)子數(shù)組排序（ 圖 5.1 ( c）所示），以免在以后的統(tǒng)計(jì)過(guò)程中再重復(fù)統(tǒng)計(jì)。

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注：圖中省略了最后一步， 即復(fù)制第二個(gè)子數(shù)組最后剩余的 4 到輔助數(shù)組中。

• (a) P1 指向的數(shù)字大于 P2指向的數(shù)字，表明數(shù)組中存在逆序?qū)?。P2 指向的數(shù)字是第二個(gè)子數(shù)組的第二個(gè)數(shù)字， 因此第二個(gè)子數(shù)組中有兩個(gè)數(shù)字比 7 小． 把逆序?qū)?shù)目加 2，并把 7 復(fù)制到輔助數(shù)組，向前移動(dòng) P1 和 P3。
• (b) P1 指向的數(shù)字小子 P2 指向的數(shù)字，沒(méi)有逆序?qū)Α０?P2 指向的數(shù)字復(fù)制到輔助數(shù)組，并向前移動(dòng) P2 和 P3 。
• (c) P1 指向的數(shù)字大于 P2 指向的數(shù)字，因此存在逆序?qū)ΑＳ捎?P2 指向的數(shù)字是第二個(gè)子數(shù)組的第一個(gè)數(shù)字，子數(shù)組中只有一個(gè)數(shù)字比 5 小． 把逆序?qū)?shù)目加 1，并把 5 復(fù)制到輔助數(shù)組，向前移動(dòng) P1 和 P3。

接下來(lái)我們統(tǒng)計(jì)兩個(gè)長(zhǎng)度為 2 的子數(shù)組之間的逆序?qū)ΑＮ覀冊(cè)趫D 5.2 中細(xì)分圖 5.1 ( d）的合并子數(shù)組及統(tǒng)計(jì)逆序?qū)Φ倪^(guò)程。

我們先用兩個(gè)指針?lè)謩e指向兩個(gè)子數(shù)組的末尾，并每次比較兩個(gè)指針指向的數(shù)字。如果第一個(gè)子數(shù)組中的數(shù)字大于第二個(gè)子數(shù)組中的數(shù)字，則構(gòu)成逆序?qū)?，并且逆序?qū)Φ臄?shù)目等于第二個(gè)子數(shù)組中剩余數(shù)字的個(gè)數(shù)（如圖 5.2 (a)和圖 5.2 (c)所示）。如果第一個(gè)數(shù)組中的數(shù)字小于或等于第二個(gè)數(shù)組中的數(shù)字，則不構(gòu)成逆序?qū)Γㄈ鐖D 5.2 (b)所示〉。每一次比較的時(shí)候，我們都把較大的數(shù)字從·后往前復(fù)制到一個(gè)輔助數(shù)組中去，確保輔助數(shù)組中的數(shù)字是遞增排序的。在把較大的數(shù)字復(fù)制到輔助數(shù)組之后，把對(duì)應(yīng)的指針向前移動(dòng)一位，接下來(lái)進(jìn)行下一輪比較。

經(jīng)過(guò)前面詳細(xì)的詩(shī)論， 我們可以總結(jié)出統(tǒng)計(jì)逆序?qū)Φ倪^(guò)程：先把數(shù)組分隔成子數(shù)組， 先統(tǒng)計(jì)出子數(shù)組內(nèi)部的逆序?qū)Φ臄?shù)目，然后再統(tǒng)計(jì)出兩個(gè)相鄰子數(shù)組之間的逆序?qū)Φ臄?shù)目。在統(tǒng)計(jì)逆序?qū)Φ倪^(guò)程中，還需要對(duì)數(shù)組進(jìn)行排序。如果對(duì)排序賀，法很熟悉，我們不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)排序的過(guò)程實(shí)際上就是歸并排序。

代碼實(shí)現(xiàn)：

public class Test36 {
    public static int inversePairs(int[] data) {
        if (data == null || data.length < 1) {
            throw new IllegalArgumentException("Array arg should contain at least a value");
        }
        int[] copy = new int[data.length];
        System.arraycopy(data, 0, copy, 0, data.length);
        return inversePairsCore(data, copy, 0, data.length - 1);
    }
    private static int inversePairsCore(int[] data, int[] copy, int start, int end) {
        if (start == end) {
            copy[start] = data[start];
            return 0;
        }
        int length = (end - start) / 2;
        int left = inversePairsCore(copy, data, start, start + length);
        int right = inversePairsCore(copy, data, start + length + 1, end);
        // 前半段的最后一個(gè)數(shù)字的下標(biāo)
        int i = start + length;
        // 后半段最后一個(gè)數(shù)字的下標(biāo)
        int j = end;
        // 開(kāi)始拷貝的位置
        int indexCopy = end;
        // 逆序數(shù)
        int count = 0;
        while (i >= start && j >= start + length + 1) {
            if (data[i] > data[j]) {
                copy[indexCopy] = data[i];
                indexCopy--;
                i--;
                count += j - (start + length); // 對(duì)應(yīng)的逆序數(shù)
            } else {
                copy[indexCopy] = data[j];
                indexCopy--;
                j--;
            }
        }
        for (; i >= start; i--) {
            copy[indexCopy] = data[i];
            indexCopy--;
            i--;
        }
        for (; j >= start + length + 1; j--) {
            copy[indexCopy] = data[j];
            indexCopy--;
            j--;
        }
        return count + left + right;
    }
    public static void main(String[] args) {
        int[] data = {1, 2, 3, 4, 7, 6, 5};
        System.out.println(inversePairs(data)); // 3
        int[] data2 = {6, 5, 4, 3, 2, 1};
        System.out.println(inversePairs(data2)); //  15
        int[] data3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
        System.out.println(inversePairs(data3)); // 0
        int[] data4 = {1};
        System.out.println(inversePairs(data4)); // 0
        int[] data5 = {1, 2};
        System.out.println(inversePairs(data5)); // 0
        int[] data6 = {2, 1};
        System.out.println(inversePairs(data6)); // 1
        int[] data7 = {1, 2, 1, 2, 1};
        System.out.println(inversePairs(data7)); // 3
    }
}

運(yùn)行結(jié)果：

http://wiki.jikexueyuan.com/project/for-offer/images/52.png" alt="" />